过去虽然没有细看，但印象里一直觉得变分自编码器（VariationalAuto-Encoder，VAE）是个好东西。趁着最近看概率图模型的三分钟热度，我决定也争取把VAE搞懂。

于是乎照样翻了网上很多资料，无一例外发现都很含糊，主要的感觉是公式写了一大通，还是迷迷糊糊的，最后好不容易觉得看懂了，再去看看实现的代码，又感觉实现代码跟理论完全不是一回事啊。

终于，东拼西凑再加上我这段时间对概率模型的一些积累，并反复对比原论文Auto-EncodingVariationalBayes，最后我觉得我应该是想明白了。

其实真正的VAE，跟很多教程说的的还真不大一样，很多教程写了一大通，都没有把模型的要点写出来。于是写了这篇东西，希望通过下面的文字，能把VAE初步讲清楚。

分布变换

通常我们会拿VAE跟GAN比较，的确，它们两个的目标基本是一致的——希望构建一个从隐变量Z生成目标数据X的模型，但是实现上有所不同。

更准确地讲，它们是假设了服从某些常见的分布（比如正态分布或均匀分布），然后希望训练一个模型X=g(Z)，这个模型能够将原来的概率分布映射到训练集的概率分布，也就是说，它们的目的都是进行分布之间的变换。

生成模型的难题就是判断生成分布与真实分布的相似度，因为我们只知道两者的采样结果，不知道它们的分布表达式。

那现在假设服从标准的正态分布，那么我就可以从中采样得到若干个Z1,Z2,…,Zn，然后对它做变换得到X̂1=g(Z1),X̂2=g(Z2),…,X̂n=g(Zn)，我们怎么判断这个通过f构造出来的数据集，它的分布跟我们目标的数据集分布是不是一样的呢？

有读者说不是有KL散度吗？当然不行，因为KL散度是根据两个概率分布的表达式来算它们的相似度的，然而目前我们并不知道它们的概率分布的表达式。

我们只有一批从构造的分布采样而来的数据{X̂1,X̂2,…,X̂n}，还有一批从真实的分布采样而来的数据{X1,X2,…,Xn}（也就是我们希望生成的训练集）。我们只有样本本身，没有分布表达式，当然也就没有方法算KL散度。

虽然遇到困难，但还是要想办法解决的。GAN的思路很直接粗犷：既然没有合适的度量，那我干脆把这个度量也用神经网络训练出来吧。

就这样，WGAN就诞生了，详细过程请参考互怼的艺术：从零直达WGAN-GP。而VAE则使用了一个精致迂回的技巧。

VAE慢谈

这一部分我们先回顾一般教程是怎么介绍VAE的，然后再探究有什么问题，接着就自然地发现了VAE真正的面目。

经典回顾

首先我们有一批数据样本{X1,…,Xn}，其整体用X来描述，我们本想根据{X1,…,Xn}得到X的分布p(X)，如果能得到的话，那我直接根据p(X)来采样，就可以得到所有可能的X了（包括{X1,…,Xn}以外的），这是一个终极理想的生成模型了。

当然，这个理想很难实现，于是我们将分布改一改：

这里我们就不区分求和还是求积分了，意思对了就行。此时p(XZ)就描述了一个由Z来生成X的模型，而我们假设Z服从标准正态分布，也就是p(Z)=N(0,I)。如果这个理想能实现，那么我们就可以先从标准正态分布中采样一个Z，然后根据Z来算一个X，也是一个很棒的生成模型。

接下来就是结合自编码器来实现重构，保证有效信息没有丢失，再加上一系列的推导，最后把模型实现。框架的示意图如下：

▲VAE的传统理解

看出了什么问题了吗？如果像这个图的话，我们其实完全不清楚：究竟经过重新采样出来的Zk，是不是还对应着原来的Xk，所以我们如果直接最小化D(X̂k,Xk)^2（这里D代表某种距离函数）是很不科学的，而事实上你看代码也会发现根本不是这样实现的。

也就是说，很多教程说了一大通头头是道的话，然后写代码时却不是按照所写的文字来写，可是他们也不觉得这样会有矛盾。

VAE初现

其实，在整个VAE模型中，我们并没有去使用p(Z)（先验分布）是正态分布的假设，我们用的是假设p(ZX)（后验分布）是正态分布。

具体来说，给定一个真实样本Xk，我们假设存在一个专属于Xk的分布p(ZXk)（学名叫后验分布），并进一步假设这个分布是（独立的、多元的）正态分布。

为什么要强调“专属”呢？因为我们后面要训练一个生成器X=g(Z)，希望能够把从分布p(ZXk)采样出来的一个Zk还原为Xk。

如果假设p(Z)是正态分布，然后从p(Z)中采样一个Z，那么我们怎么知道这个Z对应于哪个真实的X呢？现在p(ZXk)专属于Xk，我们有理由说从这个分布采样出来的Z应该要还原到Xk中去。

事实上，在论文Auto-Encoding Variational Bayes的应用部分，也特别强调了这一点：

In this case, we can let the variational approximate posterior be a multivariate Gaussian with a diagonal covariance structure:

论文中的式(9)是实现整个模型的关键，不知道为什么很多教程在介绍VAE时都没有把它凸显出来。尽管论文也提到p(Z)是标准正态分布，然而那其实并不是本质重要的。

再次强调，这时候每一个Xk都配上了一个专属的正态分布，才方便后面的生成器做还原。但这样有多少个X就有多少个正态分布了。我们知道正态分布有两组参数：均值μ和方差σ^2（多元的话，它们都是向量）。

那我怎么找出专属于Xk的正态分布p(ZXk)的均值和方差呢？好像并没有什么直接的思路。

那好吧，我就用神经网络来拟合出来。这就是神经网络时代的哲学：难算的我们都用神经网络来拟合，在WGAN那里我们已经体验过一次了，现在再次体验到了。

于是我们构建两个神经网络μk=f1(Xk)，logσ^2=f2(Xk)来算它们了。我们选择拟合logσ^2而不是直接拟合σ^2，是因为σ^2总是非负的，需要加激活函数处理，而拟合logσ^2不需要加激活函数，因为它可正可负。

到这里，我能知道专属于Xk的均值和方差了，也就知道它的正态分布长什么样了，然后从这个专属分布中采样一个Zk出来，然后经过一个生成器得到X̂k=g(Zk)。

现在我们可以放心地最小化D(X̂k,Xk)^2，因为Zk是从专属Xk的分布中采样出来的，这个生成器应该要把开始的Xk还原回来。于是可以画出VAE的示意图：

事实上，VAE是为每个样本构造专属的正态分布，然后采样来重构。

分布标准化

让我们来思考一下，根据上图的训练过程，最终会得到什么结果。

首先，我们希望重构X，也就是最小化D(X̂k,Xk)^2，但是这个重构过程受到噪声的影响，因为Zk是通过重新采样过的，不是直接由encoder算出来的。

显然噪声会增加重构的难度，不过好在这个噪声强度（也就是方差）通过一个神经网络算出来的，所以最终模型为了重构得更好，肯定会想尽办法让方差为0。

而方差为0的话，也就没有随机性了，所以不管怎么采样其实都只是得到确定的结果（也就是均值），只拟合一个当然比拟合多个要容易，而均值是通过另外一个神经网络算出来的。

说白了，模型会慢慢退化成普通的AutoEncoder，噪声不再起作用。

这样不就白费力气了吗？说好的生成模型呢？

别急别急，其实VAE还让所有的p(ZX)都向标准正态分布看齐，这样就防止了噪声为零，同时保证了模型具有生成能力。

怎么理解“保证了生成能力”呢？如果所有的p(ZX)都很接近标准正态分布N(0,I)，那么根据定义：

这样我们就能达到我们的先验假设：p(Z)是标准正态分布。然后我们就可以放心地从N(0,I)中采样来生成图像了。

为了使模型具有生成能力，VAE要求每个p(Z_X)都向正态分布看齐。

那怎么让所有的p(ZX)都向N(0,I)看齐呢？如果没有外部知识的话，其实最直接的方法应该是在重构误差的基础上中加入额外的loss：

因为它们分别代表了均值μk和方差的对数logσ^2，达到N(0,I)就是希望二者尽量接近于0了。不过，这又会面临着这两个损失的比例要怎么选取的问题，选取得不好，生成的图像会比较模糊。

所以，原论文直接算了一般（各分量独立的）正态分布与标准正态分布的KL散度KL(N(μ,σ^2)‖N(0,I))作为这个额外的loss，计算结果为：

这里的d是隐变量Z的维度，而μ(i)和σ_{(i)}^{2}分别代表一般正态分布的均值向量和方差向量的第i个分量。直接用这个式子做补充loss，就不用考虑均值损失和方差损失的相对比例问题了。

显然，这个loss也可以分两部分理解：

推导

由于我们考虑的是各分量独立的多元正态分布，因此只需要推导一元正态分布的情形即可，根据定义我们可以写出：

整个结果分为三项积分，第一项实际上就是−logσ^2乘以概率密度的积分（也就是1），所以结果是−logσ^2；第二项实际是正态分布的二阶矩，熟悉正态分布的朋友应该都清楚正态分布的二阶矩为μ^2+σ^2；而根据定义，第三项实际上就是“-方差除以方差=-1”。所以总结果就是：

重参数技巧

最后是实现模型的一个技巧，英文名是ReparameterizationTrick，我这里叫它做重参数吧。

▲重参数技巧

其实很简单，就是我们要从p(ZXk)中采样一个Zk出来，尽管我们知道了p(ZXk)是正态分布，但是均值方差都是靠模型算出来的，我们要靠这个过程反过来优化均值方差的模型，但是“采样”这个操作是不可导的，而采样的结果是可导的，于是我们利用了一个事实：

所以，我们将从N(μ,σ^2)采样变成了从N(μ,σ^2)中采样，然后通过参数变换得到从N(μ,σ^2)中采样的结果。这样一来，“采样”这个操作就不用参与梯度下降了，改为采样的结果参与，使得整个模型可训练了。

具体怎么实现，大家把上述文字对照着代码看一下，一下子就明白了。

后续分析

即便把上面的所有内容都搞清楚了，面对VAE，我们可能还存有很多疑问。

本质是什么

VAE的本质是什么？VAE虽然也称是AE（AutoEncoder）的一种，但它的做法（或者说它对网络的诠释）是别具一格的。

在VAE中，它的Encoder有两个，一个用来计算均值，一个用来计算方差，这已经让人意外了：Encoder不是用来Encode的，是用来算均值和方差的，这真是大新闻了，还有均值和方差不都是统计量吗，怎么是用神经网络来算的？

事实上，我觉得VAE从让普通人望而生畏的变分和贝叶斯理论出发，最后落地到一个具体的模型中，虽然走了比较长的一段路，但最终的模型其实是很接地气的。

它本质上就是在我们常规的自编码器的基础上，对encoder的结果（在VAE中对应着计算均值的网络）加上了“高斯噪声”，使得结果decoder能够对噪声有鲁棒性；而那个额外的KLloss（目的是让均值为0，方差为1），事实上就是相当于对encoder的一个正则项，希望encoder出来的东西均有零均值。

那另外一个encoder（对应着计算方差的网络）的作用呢？它是用来动态调节噪声的强度的。

直觉上来想，当decoder还没有训练好时（重构误差远大于KLloss），就会适当降低噪声（KLloss增加），使得拟合起来容易一些（重构误差开始下降）。

反之，如果decoder训练得还不错时（重构误差小于KLloss），这时候噪声就会增加（KLloss减少），使得拟合更加困难了（重构误差又开始增加），这时候decoder就要想办法提高它的生成能力了。

▲VAE的本质结构

说白了，重构的过程是希望没噪声的，而KLloss则希望有高斯噪声的，两者是对立的。所以，VAE跟GAN一样，内部其实是包含了一个对抗的过程，只不过它们两者是混合起来，共同进化的。

从这个角度看，VAE的思想似乎还高明一些，因为在GAN中，造假者在进化时，鉴别者是安然不动的，反之亦然。当然，这只是一个侧面，不能说明VAE就比GAN好。

GAN真正高明的地方是：它连度量都直接训练出来了，而且这个度量往往比我们人工想的要好（然而GAN本身也有各种问题，这就不展开了）。

正态分布？

对于p(ZX)的分布，读者可能会有疑惑：是不是必须选择正态分布？可以选择均匀分布吗？

首先，这个本身是一个实验问题，两种分布都试一下就知道了。但是从直觉上来讲，正态分布要比均匀分布更加合理，因为正态分布有两组独立的参数：均值和方差，而均匀分布只有一组。

前面我们说，在VAE中，重构跟噪声是相互对抗的，重构误差跟噪声强度是两个相互对抗的指标，而在改变噪声强度时原则上需要有保持均值不变的能力，不然我们很难确定重构误差增大了，究竟是均值变化了（encoder的锅）还是方差变大了（噪声的锅）。

而均匀分布不能做到保持均值不变的情况下改变方差，所以正态分布应该更加合理。

变分在哪里

还有一个有意思（但不大重要）的问题是：VAE叫做“变分自编码器”，它跟变分法有什么联系？在VAE的论文和相关解读中，好像也没看到变分法的存在？

其实如果读者已经承认了KL散度的话，那VAE好像真的跟变分没多大关系了，因为KL散度的定义是：

如果是离散概率分布就要写成求和，我们要证明：已概率分布p(x)（或固定q(x)）的情况下，对于任意的概率分布q(x)（或p(x)），都有KLp(x)‖q(x))≥0，而且只有当p(x)=q(x)时才等于零。

因为KL(p(x)‖q(x))实际上是一个泛函，要对泛函求极值就要用到变分法，当然，这里的变分法只是普通微积分的平行推广，还没涉及到真正复杂的变分法。而VAE的变分下界，是直接基于KL散度就得到的。所以直接承认了KL散度的话，就没有变分的什么事了。

一句话，VAE的名字中“变分”，是因为它的推导过程用到了KL散度及其性质。

条件VAE

最后，因为目前的VAE是无监督训练的，因此很自然想到：如果有标签数据，那么能不能把标签信息加进去辅助生成样本呢？

这个问题的意图，往往是希望能够实现控制某个变量来实现生成某一类图像。当然，这是肯定可以的，我们把这种情况叫做ConditionalVAE，或者叫CVAE（相应地，在GAN中我们也有个CGAN）。

但是，CVAE不是一个特定的模型，而是一类模型，总之就是把标签信息融入到VAE中的方式有很多，目的也不一样。这里基于前面的讨论，给出一种非常简单的VAE。

▲一个简单的CVAE结构

在前面的讨论中，我们希望X经过编码后，Z的分布都具有零均值和单位方差，这个“希望”是通过加入了KLloss来实现的。

如果现在多了类别信息Y，我们可以希望同一个类的样本都有一个专属的均值μ^Y（方差不变，还是单位方差），这个μ^Y让模型自己训练出来。

这样的话，有多少个类就有多少个正态分布，而在生成的时候，我们就可以通过控制均值来控制生成图像的类别。

事实上，这样可能也是在VAE的基础上加入最少的代码来实现CVAE的方案了，因为这个“新希望”也只需通过修改KLloss实现：

下图显示这个简单的CVAE是有一定的效果的，不过因为encoder和decoder都比较简单（纯MLP），所以控制生成的效果不尽完美。

用这个CVAE控制生成数字9，可以发现生成了多种样式的9，并且慢慢向7过渡，所以初步观察这种CVAE是有效的。

更完备的CVAE请读者自行学习了，最近还出来了CVAE与GAN结合的工作CVAE-GAN:Fine-GrainedImageGenerationthroughAsymmetricTraining，模型套路千变万化。